100 лет гравитация жила по законам Эйнштейна... теперь у неё новые правила
NewsMakerВселенная может ломаться, трещать, рассыпаться, но чёрные дыры всё равно останутся.
Всё началось в октябре 2015 года, с обычного авиарейса из Турина в Вену. В креслах рядом оказались двое учёных, только что покинувших математическую конференцию. Один из них — молодой австрийский математик Клеменс Сэмман, только начавший постдок в Венском университете. Другой — профессор этого же вуза Михаэль Кунцингер. Разговор в полёте быстро перешёл на серьёзные темы, и Сэмман поделился идеей, которая не давала ему покоя ещё со времён аспирантуры: можно ли переосмыслить математику общей теории относительности Эйнштейна так, чтобы она работала даже там, где её классические уравнения бессильны?
Чтобы понять, почему такой вопрос вообще возникает, стоит вернуться к самому началу. Общая теория относительности, сформулированная Альбертом Эйнштейном в 1915 году, описывает гравитацию не как силу в классическом смысле, а как искривление пространства-времени под воздействием массы и энергии. Согласно этой теории, планеты движутся по изогнутым траекториям не потому, что на них действует невидимая сила, а потому что само пространство вокруг массивных объектов искривляется. Это искривление задаётся системой из десяти дифференциальных уравнений — громоздких, но крайне точных. Они объясняют всё: от падения тел до движения галактик, от изгиба света рядом с массивными телами до существования чёрных дыр и гравитационных волн.
Однако уравнения Эйнштейна работают только при одном условии — если само пространство-время ведёт себя гладко. Оно должно быть непрерывным, без разрывов, острых углов или «складок». Представьте резиновый лист: если он ровный, можно точно посчитать, как он прогнётся под грузом. Но если он весь в трещинах и заломах — предсказания уже не работают. Проблема в том, что в реальности гладкость пространства — это, возможно, иллюзия. На самых малых масштабах, говорят физики, пространство-время может быть «дискретным», разбитым на отдельные элементы, как пиксели на экране. Особенно резко оно искривляется вблизи чёрных дыр и в ранние моменты существования Вселенной.
Именно здесь общая теория относительности сталкивается со своими пределами. Дифференциальное исчисление, лежащее в её основе, перестаёт работать, когда исчезает гладкость. Без производных нельзя выразить, как меняются величины, а без этого сама формулировка уравнений Эйнштейна теряет смысл. И Сэмман с Кунцингером решили: нужно найти способ говорить о кривизне и гравитации без привычной математической гладкости .
Работу они начали в 2016 году. Сначала сосредоточились на базовом понятии — кривизне, которая описывает, насколько сильно искривляется пространство в каждой точке. Это фундаментальная характеристика в уравнениях Эйнштейна, особенно в виде так называемой кривизны Риччи. Но начинать с неё было бы слишком сложно, поэтому они обратились к более простой разновидности — секционной кривизне. Она описывает, как искривляется двумерная «плоскость» в выбранной точке пространства-времени.
В классической математике секционную кривизну можно оценить с помощью треугольников: строят геодезические (наиболее прямые) линии между точками на поверхности и сравнивают углы в таких треугольниках с аналогичными треугольниками на эталонной поверхности — скажем, на плоскости или сфере. Этот метод позволяет оценить кривизну даже без производных, то есть без необходимости гладкости.
Сэмман и Кунцингер решили адаптировать этот подход к пространству-времени. Но тут начались сложности. Пространство-время, согласно общей теории относительности, не просто геометрический объект: в нём смешаны пространство и время, а расстояния зависят от того, как движется наблюдатель. Более того, в этой геометрии наиболее «прямыми» являются не кратчайшие, а наоборот — самые «временные» пути, вдоль которых часы покажут максимальное прошедшее время. Это парадоксально: прямой путь может быть менее «длинным» во времени, чем путь с крюками.
Но именно это понимание стало ключом. Учёные стали строить треугольники, где стороны — это траектории с максимальной временной длиной. Сравнивая такие треугольники в разных моделях пространства-времени, они смогли оценивать кривизну даже в ситуациях с разрывами, острыми границами или иными нарушениями гладкости. Оказалось, что метод работает — можно доказать, например, что кривизна внутри чёрной дыры стремится к бесконечности, не используя классические уравнения Эйнштейна.
Следующий шаг был амбициознее: проверить, можно ли с помощью этого метода воспроизвести знаменитые теоремы о сингулярностях, сформулированные Роджером Пенроузом и Стивеном Хокингом в 1960-х. Эти теоремы утверждают, что при определённых условиях в гравитационных коллапсах — например, в чёрных дырах или при возникновении Вселенной — неизбежно возникают точки с бесконечной кривизной, так называемые сингулярности. Но в исходных доказательствах предполагалась гладкость пространства-времени. А что, если её нет?
В 2019 году Сэмман, Кунцингер, а также Стефани Александер и Мелани Граф доказали частный случай теоремы Хокинга для пространства без гладкости, но со специальной структурой. Они показали: если проследить пути света и частиц назад во времени, то эти траектории окажутся конечными — то есть укажут на наличие сингулярности в прошлом. Метод треугольников оказался не просто инструментом — он позволил утверждать нечто фундаментальное о структуре Вселенной.
Однако секционная кривизна даёт слишком много информации: она описывает искривление во всех возможных направлениях. Классические теоремы Хокинга и Пенроуза требуют лишь усреднённой информации — именно её даёт кривизна Риччи. Чтобы воспроизвести оригинальные теоремы в полной форме, нужна была другая техника.
Здесь в дело вступил Роберт МакКанн из Университета Торонто. Он предложил использовать методы оптимального транспорта — математической теории, зародившейся ещё в XVIII веке, когда Гаспар Монж искал способы наилучшим образом перемещать землю для укреплений армии Наполеона. Современные методы оптимального транспорта позволяют оценивать, как изменяется объём при перемещении массы по изогнутой поверхности. МакКанн применил их к пространству-времени и получил способ оценивать кривизну Риччи без использования классического анализа — но только в гладких пространствах.
Позже Андреа Мондино и Штефан Зур адаптировали этот подход к негладким пространствам, используя идеи Сэммана и Кунцингера. В 2020 году Мондино и Фабио Каваллетти показали, что теорема Хокинга остаётся в силе даже в ещё более общих моделях пространства-времени. Более того, совсем недавно они же — вместе с Давиде Манини — впервые воспроизвели теорему Пенроуза о чёрных дырах без предположения о гладкости.
Это не просто техническое достижение. Это означает, что сингулярности — чёрные дыры и, возможно, сам Большой взрыв — являются фундаментальными чертами Вселенной, не зависящими от идеализированной гладкой геометрии. Даже если пространство-время разбито на «куски», состоит из углов и краёв, сингулярности всё равно возникают.
Параллельно идёт работа над тем, чтобы расширить сам инструментарий. Сэмман и его коллеги работают над созданием «нового анализа» — аналога математического анализа для разрывных пространств. Пока он в зачатке, но уже позволяет доказывать новые теоремы о сингулярностях и гравитации .
Вся эта программа получила мощную поддержку: Австрийский научный фонд выделил 7 миллионов евро на продолжение исследований . В команду, возглавляемую Роландом Штайнбауэром, входят Кунцингер, Сэмман и десятки других математиков. Их конечная цель — построить фундамент для новой физики: той, которая объединит общую теорию относительности с квантовой механикой.
Многие подходы к квантовой гравитации предполагают, что в основе мир не непрерывен, а дискретен — состоит из точек, а не из гладкого континуума. Но если в таком мире можно определить кривизну, значит, можно говорить и о гравитации. Это открывает путь к пониманию, как устроена Вселенная на самом глубоком уровне.
«Проект только начинается», — говорит Сэмман. И если всё пойдёт по плану, он может привести к следующему большому перевороту в науке — спустя ровно сто лет после Эйнштейна .
Всё началось в октябре 2015 года, с обычного авиарейса из Турина в Вену. В креслах рядом оказались двое учёных, только что покинувших математическую конференцию. Один из них — молодой австрийский математик Клеменс Сэмман, только начавший постдок в Венском университете. Другой — профессор этого же вуза Михаэль Кунцингер. Разговор в полёте быстро перешёл на серьёзные темы, и Сэмман поделился идеей, которая не давала ему покоя ещё со времён аспирантуры: можно ли переосмыслить математику общей теории относительности Эйнштейна так, чтобы она работала даже там, где её классические уравнения бессильны?
Чтобы понять, почему такой вопрос вообще возникает, стоит вернуться к самому началу. Общая теория относительности, сформулированная Альбертом Эйнштейном в 1915 году, описывает гравитацию не как силу в классическом смысле, а как искривление пространства-времени под воздействием массы и энергии. Согласно этой теории, планеты движутся по изогнутым траекториям не потому, что на них действует невидимая сила, а потому что само пространство вокруг массивных объектов искривляется. Это искривление задаётся системой из десяти дифференциальных уравнений — громоздких, но крайне точных. Они объясняют всё: от падения тел до движения галактик, от изгиба света рядом с массивными телами до существования чёрных дыр и гравитационных волн.
Однако уравнения Эйнштейна работают только при одном условии — если само пространство-время ведёт себя гладко. Оно должно быть непрерывным, без разрывов, острых углов или «складок». Представьте резиновый лист: если он ровный, можно точно посчитать, как он прогнётся под грузом. Но если он весь в трещинах и заломах — предсказания уже не работают. Проблема в том, что в реальности гладкость пространства — это, возможно, иллюзия. На самых малых масштабах, говорят физики, пространство-время может быть «дискретным», разбитым на отдельные элементы, как пиксели на экране. Особенно резко оно искривляется вблизи чёрных дыр и в ранние моменты существования Вселенной.
Именно здесь общая теория относительности сталкивается со своими пределами. Дифференциальное исчисление, лежащее в её основе, перестаёт работать, когда исчезает гладкость. Без производных нельзя выразить, как меняются величины, а без этого сама формулировка уравнений Эйнштейна теряет смысл. И Сэмман с Кунцингером решили: нужно найти способ говорить о кривизне и гравитации без привычной математической гладкости .
Работу они начали в 2016 году. Сначала сосредоточились на базовом понятии — кривизне, которая описывает, насколько сильно искривляется пространство в каждой точке. Это фундаментальная характеристика в уравнениях Эйнштейна, особенно в виде так называемой кривизны Риччи. Но начинать с неё было бы слишком сложно, поэтому они обратились к более простой разновидности — секционной кривизне. Она описывает, как искривляется двумерная «плоскость» в выбранной точке пространства-времени.
В классической математике секционную кривизну можно оценить с помощью треугольников: строят геодезические (наиболее прямые) линии между точками на поверхности и сравнивают углы в таких треугольниках с аналогичными треугольниками на эталонной поверхности — скажем, на плоскости или сфере. Этот метод позволяет оценить кривизну даже без производных, то есть без необходимости гладкости.
Сэмман и Кунцингер решили адаптировать этот подход к пространству-времени. Но тут начались сложности. Пространство-время, согласно общей теории относительности, не просто геометрический объект: в нём смешаны пространство и время, а расстояния зависят от того, как движется наблюдатель. Более того, в этой геометрии наиболее «прямыми» являются не кратчайшие, а наоборот — самые «временные» пути, вдоль которых часы покажут максимальное прошедшее время. Это парадоксально: прямой путь может быть менее «длинным» во времени, чем путь с крюками.
Но именно это понимание стало ключом. Учёные стали строить треугольники, где стороны — это траектории с максимальной временной длиной. Сравнивая такие треугольники в разных моделях пространства-времени, они смогли оценивать кривизну даже в ситуациях с разрывами, острыми границами или иными нарушениями гладкости. Оказалось, что метод работает — можно доказать, например, что кривизна внутри чёрной дыры стремится к бесконечности, не используя классические уравнения Эйнштейна.
Следующий шаг был амбициознее: проверить, можно ли с помощью этого метода воспроизвести знаменитые теоремы о сингулярностях, сформулированные Роджером Пенроузом и Стивеном Хокингом в 1960-х. Эти теоремы утверждают, что при определённых условиях в гравитационных коллапсах — например, в чёрных дырах или при возникновении Вселенной — неизбежно возникают точки с бесконечной кривизной, так называемые сингулярности. Но в исходных доказательствах предполагалась гладкость пространства-времени. А что, если её нет?
В 2019 году Сэмман, Кунцингер, а также Стефани Александер и Мелани Граф доказали частный случай теоремы Хокинга для пространства без гладкости, но со специальной структурой. Они показали: если проследить пути света и частиц назад во времени, то эти траектории окажутся конечными — то есть укажут на наличие сингулярности в прошлом. Метод треугольников оказался не просто инструментом — он позволил утверждать нечто фундаментальное о структуре Вселенной.
Однако секционная кривизна даёт слишком много информации: она описывает искривление во всех возможных направлениях. Классические теоремы Хокинга и Пенроуза требуют лишь усреднённой информации — именно её даёт кривизна Риччи. Чтобы воспроизвести оригинальные теоремы в полной форме, нужна была другая техника.
Здесь в дело вступил Роберт МакКанн из Университета Торонто. Он предложил использовать методы оптимального транспорта — математической теории, зародившейся ещё в XVIII веке, когда Гаспар Монж искал способы наилучшим образом перемещать землю для укреплений армии Наполеона. Современные методы оптимального транспорта позволяют оценивать, как изменяется объём при перемещении массы по изогнутой поверхности. МакКанн применил их к пространству-времени и получил способ оценивать кривизну Риччи без использования классического анализа — но только в гладких пространствах.
Позже Андреа Мондино и Штефан Зур адаптировали этот подход к негладким пространствам, используя идеи Сэммана и Кунцингера. В 2020 году Мондино и Фабио Каваллетти показали, что теорема Хокинга остаётся в силе даже в ещё более общих моделях пространства-времени. Более того, совсем недавно они же — вместе с Давиде Манини — впервые воспроизвели теорему Пенроуза о чёрных дырах без предположения о гладкости.
Это не просто техническое достижение. Это означает, что сингулярности — чёрные дыры и, возможно, сам Большой взрыв — являются фундаментальными чертами Вселенной, не зависящими от идеализированной гладкой геометрии. Даже если пространство-время разбито на «куски», состоит из углов и краёв, сингулярности всё равно возникают.
Параллельно идёт работа над тем, чтобы расширить сам инструментарий. Сэмман и его коллеги работают над созданием «нового анализа» — аналога математического анализа для разрывных пространств. Пока он в зачатке, но уже позволяет доказывать новые теоремы о сингулярностях и гравитации .
Вся эта программа получила мощную поддержку: Австрийский научный фонд выделил 7 миллионов евро на продолжение исследований . В команду, возглавляемую Роландом Штайнбауэром, входят Кунцингер, Сэмман и десятки других математиков. Их конечная цель — построить фундамент для новой физики: той, которая объединит общую теорию относительности с квантовой механикой.
Многие подходы к квантовой гравитации предполагают, что в основе мир не непрерывен, а дискретен — состоит из точек, а не из гладкого континуума. Но если в таком мире можно определить кривизну, значит, можно говорить и о гравитации. Это открывает путь к пониманию, как устроена Вселенная на самом глубоком уровне.
«Проект только начинается», — говорит Сэмман. И если всё пойдёт по плану, он может привести к следующему большому перевороту в науке — спустя ровно сто лет после Эйнштейна .