Что если бесконечности не существует? Это может изменить всё — от физики до смысла истины
NewsMakerФинитизм меняет математику.
Существуют ли бесконечности? Этот вопрос остаётся открытым даже спустя тысячелетия. Философы спорили о нём ещё в античности, а с конца XIX века он снова стал актуален в математике и физике.
Аристотель ещё 2300 лет назад выделил два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Потенциальная — это процесс, который можно продолжать бесконечно, например, счёт: 1, 2, 3, и так далее. Но конечного результата под названием «бесконечность» в этом процессе нет. Актуальная же бесконечность — это идея, что существует бесконечный объект как завершённое целое. Эту концепцию Аристотель отвергал.
Долгое время математики обходили бесконечности стороной. Но в конце XIX века Георг Кантор разработал теорию множеств — первую строгую математическую систему, позволяющую работать с бесконечными количествами. Он показал, что бесконечности могут быть разного размера. Например, натуральных чисел бесконечно много, но действительных чисел — ещё больше. Это можно строго доказать с помощью сравнения множеств.
Позже математики Эрнст Цермело и Авраам Френкель сформулировали девять аксиом, на которых теперь основана вся современная математика. Среди них — аксиома о существовании бесконечных множеств. Эта аксиома позволяет использовать бесконечности в доказательствах и построениях. Но именно она вызывает споры.
Сторонники альтернативного подхода, так называемые финитисты, считают, что бесконечности не существуют. Их главный аргумент: в реальном мире всё ограничено — и вычислительные ресурсы, и физические процессы. Поэтому работать с бесконечными объектами бессмысленно. Они предлагают строить математику только из того, что можно явно построить за конечное число шагов, начиная с натуральных чисел.
Например, число √2 определяется через бесконечную десятичную дробь. А значит, в финитистской системе оно не считается допустимым объектом. То же касается и числа π. Даже если формула их описывает, результат всё равно требует бесконечного числа вычислений.
Отказ от бесконечностей приводит к пересмотру фундаментальных логических принципов. Один из них — закон исключённого третьего. Он утверждает, что любое математическое утверждение либо истинно, либо ложно. Но в финитистской логике это не так. Если утверждение касается объекта, который ещё не построен, то оно может быть неопределённым. Например, утверждение «0.999… = 1» становится проблемой: если нет бесконечности, то нельзя говорить о «бесконечном количестве девяток», и, значит, нельзя доказать, что это выражение равно единице.
Финитистская математика кажется более ограниченной и сложной. Поэтому её сторонников немного. Но идея всё же заинтересовала некоторых физиков. Один из них — Николя Жизен из Женевского университета. Он считает, что физическая реальность — конечна. Пространство и время, по его мнению, могут содержать только ограниченное количество информации. А значит, нет смысла использовать бесконечные числа или непрерывные структуры для описания Вселенной.
Эти идеи пока не оформились в полноценную теорию, но они важны. Ведь современная физика сталкивается с вопросами, на которые не может ответить: как возникла Вселенная, что объединяет фундаментальные силы, и где границы нашего знания. Возможно, отказ от бесконечности — это способ начать с чистого листа.
Всё упирается в мировоззрение. Кто-то считает бесконечности реальными. Кто-то — лишь удобным приёмом. А кто-то ищет математику, в которой таких объектов просто не существует.
Существуют ли бесконечности? Этот вопрос остаётся открытым даже спустя тысячелетия. Философы спорили о нём ещё в античности, а с конца XIX века он снова стал актуален в математике и физике.
Аристотель ещё 2300 лет назад выделил два вида бесконечности: потенциальную и актуальную. Потенциальная — это процесс, который можно продолжать бесконечно, например, счёт: 1, 2, 3, и так далее. Но конечного результата под названием «бесконечность» в этом процессе нет. Актуальная же бесконечность — это идея, что существует бесконечный объект как завершённое целое. Эту концепцию Аристотель отвергал.
Долгое время математики обходили бесконечности стороной. Но в конце XIX века Георг Кантор разработал теорию множеств — первую строгую математическую систему, позволяющую работать с бесконечными количествами. Он показал, что бесконечности могут быть разного размера. Например, натуральных чисел бесконечно много, но действительных чисел — ещё больше. Это можно строго доказать с помощью сравнения множеств.
Позже математики Эрнст Цермело и Авраам Френкель сформулировали девять аксиом, на которых теперь основана вся современная математика. Среди них — аксиома о существовании бесконечных множеств. Эта аксиома позволяет использовать бесконечности в доказательствах и построениях. Но именно она вызывает споры.
Сторонники альтернативного подхода, так называемые финитисты, считают, что бесконечности не существуют. Их главный аргумент: в реальном мире всё ограничено — и вычислительные ресурсы, и физические процессы. Поэтому работать с бесконечными объектами бессмысленно. Они предлагают строить математику только из того, что можно явно построить за конечное число шагов, начиная с натуральных чисел.
Например, число √2 определяется через бесконечную десятичную дробь. А значит, в финитистской системе оно не считается допустимым объектом. То же касается и числа π. Даже если формула их описывает, результат всё равно требует бесконечного числа вычислений.
Отказ от бесконечностей приводит к пересмотру фундаментальных логических принципов. Один из них — закон исключённого третьего. Он утверждает, что любое математическое утверждение либо истинно, либо ложно. Но в финитистской логике это не так. Если утверждение касается объекта, который ещё не построен, то оно может быть неопределённым. Например, утверждение «0.999… = 1» становится проблемой: если нет бесконечности, то нельзя говорить о «бесконечном количестве девяток», и, значит, нельзя доказать, что это выражение равно единице.
Финитистская математика кажется более ограниченной и сложной. Поэтому её сторонников немного. Но идея всё же заинтересовала некоторых физиков. Один из них — Николя Жизен из Женевского университета. Он считает, что физическая реальность — конечна. Пространство и время, по его мнению, могут содержать только ограниченное количество информации. А значит, нет смысла использовать бесконечные числа или непрерывные структуры для описания Вселенной.
Эти идеи пока не оформились в полноценную теорию, но они важны. Ведь современная физика сталкивается с вопросами, на которые не может ответить: как возникла Вселенная, что объединяет фундаментальные силы, и где границы нашего знания. Возможно, отказ от бесконечности — это способ начать с чистого листа.
Всё упирается в мировоззрение. Кто-то считает бесконечности реальными. Кто-то — лишь удобным приёмом. А кто-то ищет математику, в которой таких объектов просто не существует.