Гарвардские учёные катнули кривой шар и открыли дверь в старые математические кошмары
NewsMakerКак простое движение превратилось в повод переписать учебники математики.
Почему шар с изъянами катится не так, как ожидается? Гарвардские учёные попытались ответить на этот, казалось бы, простой вопрос — и обнаружили неожиданные закономерности, способные пролить свет на более фундаментальные процессы в физике.
Исследование команды под руководством профессора Лакшми Махадевана из Гарвардской школы инженерии и прикладных наук началось с компьютерных симуляций. Учёные моделировали, как слегка деформированные шары и цилиндры ведут себя на наклонной плоскости под разными углами. Всё оказалось не так очевидно: идеальные тела катятся непрерывно, а неровные — спотыкаются, словно теряя равновесие. На более крутых склонах движение было устойчивее, а вот на почти плоских поверхность объекты останавливались. Самое интересное начиналось на границе между этими режимами — в критической точке, где движение исчезало.
Как объяснил соавтор работы Даоюань Цянь, именно в этой пограничной области проявляются свойства, напоминающие фазовый переход — когда система резко переходит из одного состояния в другое. Как лёд превращается в воду или магнит теряет намагниченность при нагревании, так и здесь: объект либо катится, либо нет, без промежуточных вариантов. Причём под действием инерции переход может быть резким, с мгновенным скачком скорости от нуля до конечного значения.
Чтобы понять происходящее глубже, учёные измеряли энтропию и отслеживали скорость перед остановкой. Оказалось, что устойчивое движение может длиться бесконечно долго — по крайней мере, в теории. Цилиндры и шары вели себя по-разному: последние могут катиться в любом направлении, а цилиндры — только по одной оси, что делает их движение менее предсказуемым.
Но и это было ещё не всё. В лабораторных экспериментах исследователи обнаружили, что даже хаотичное, как казалось, движение шара имеет скрытую закономерность. После выхода на устойчивую траекторию шар совершал два оборота за цикл, возвращаясь в исходное положение. Это напомнило авторам известный математический фокус под названием «трюк с тарелкой» (или трик Дирака), который гласит: чтобы вернуться в первоначальное состояние, объект с прикреплёнными нитями должен повернуться дважды. Ещё один подходящий образ — теорема о лысом шаре, согласно которой нельзя причесать сферу без вихра.
«Мы этого совсем не ожидали», — признался Цянь. «Но в итоге мы нашли математическое объяснение, и это было удивительно приятно».
Авторы отмечают , что такие эксперименты могут быть полезны не только в теории. Например, в микромасштабных системах — от клеточного транспорта до робототехники — знание того, как именно катится неровное тело, помогает прогнозировать его поведение. И даже в боулинге: если форму шара знать достаточно точно, можно довольно точно предсказать его траекторию.
«Самое увлекательное в этой работе — то, как простая задача позволяет по-новому взглянуть на сложные явления», — говорит Цянь. «Мы обнаружили порядок там, где, как казалось, царил хаос».
Почему шар с изъянами катится не так, как ожидается? Гарвардские учёные попытались ответить на этот, казалось бы, простой вопрос — и обнаружили неожиданные закономерности, способные пролить свет на более фундаментальные процессы в физике.
Исследование команды под руководством профессора Лакшми Махадевана из Гарвардской школы инженерии и прикладных наук началось с компьютерных симуляций. Учёные моделировали, как слегка деформированные шары и цилиндры ведут себя на наклонной плоскости под разными углами. Всё оказалось не так очевидно: идеальные тела катятся непрерывно, а неровные — спотыкаются, словно теряя равновесие. На более крутых склонах движение было устойчивее, а вот на почти плоских поверхность объекты останавливались. Самое интересное начиналось на границе между этими режимами — в критической точке, где движение исчезало.
Как объяснил соавтор работы Даоюань Цянь, именно в этой пограничной области проявляются свойства, напоминающие фазовый переход — когда система резко переходит из одного состояния в другое. Как лёд превращается в воду или магнит теряет намагниченность при нагревании, так и здесь: объект либо катится, либо нет, без промежуточных вариантов. Причём под действием инерции переход может быть резким, с мгновенным скачком скорости от нуля до конечного значения.
Чтобы понять происходящее глубже, учёные измеряли энтропию и отслеживали скорость перед остановкой. Оказалось, что устойчивое движение может длиться бесконечно долго — по крайней мере, в теории. Цилиндры и шары вели себя по-разному: последние могут катиться в любом направлении, а цилиндры — только по одной оси, что делает их движение менее предсказуемым.
Но и это было ещё не всё. В лабораторных экспериментах исследователи обнаружили, что даже хаотичное, как казалось, движение шара имеет скрытую закономерность. После выхода на устойчивую траекторию шар совершал два оборота за цикл, возвращаясь в исходное положение. Это напомнило авторам известный математический фокус под названием «трюк с тарелкой» (или трик Дирака), который гласит: чтобы вернуться в первоначальное состояние, объект с прикреплёнными нитями должен повернуться дважды. Ещё один подходящий образ — теорема о лысом шаре, согласно которой нельзя причесать сферу без вихра.
«Мы этого совсем не ожидали», — признался Цянь. «Но в итоге мы нашли математическое объяснение, и это было удивительно приятно».
Авторы отмечают , что такие эксперименты могут быть полезны не только в теории. Например, в микромасштабных системах — от клеточного транспорта до робототехники — знание того, как именно катится неровное тело, помогает прогнозировать его поведение. И даже в боулинге: если форму шара знать достаточно точно, можно довольно точно предсказать его траекторию.
«Самое увлекательное в этой работе — то, как простая задача позволяет по-новому взглянуть на сложные явления», — говорит Цянь. «Мы обнаружили порядок там, где, как казалось, царил хаос».