Мир стал понятнее: доказано, как из симметричных уравнений рождается несимметричная реальность
NewsMakerМатематики завершили фрагмент программы Гильберта, открытой в 1900 году.
В 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 задачи , которые, как он надеялся, определят траекторию развития математики на столетие вперёд. Среди них шестая — одна из самых амбициозных — призывала превратить физику в строгую логическую систему, подобно тому, как Евклид описал геометрию через аксиомы. Гильберт мечтал, чтобы законы природы были не просто описанием наблюдаемого, а следствием математически непротиворечивой модели. Однако уже тогда масштабы этой задачи казались гигантскими. Он не ограничивался одной областью — цель заключалась в том, чтобы придать аксиоматический облик всему, что связано с количественными науками. В частности, он предложил начать с теории газа: доказать, что модели, описывающие движение отдельных молекул, действительно ведут к тем же результатам, что и уравнения, описывающие поведение вещества как единого целого.
Физики давно используют три уровня описания газа: на нижнем уровне — частицы, движущиеся по законам Ньютона ; на промежуточном — статистическая картина Больцмана, описывающая распределение частиц по скоростям и позициям; на самом общем — макроскопическая картина, где газ становится сплошной средой, подчиняющейся уравнениям Навье–Стокса. Эти модели кажутся совместимыми, но до недавнего времени строгих доказательств такой совместимости не существовало. Переход от среднего уровня к макроуровню математикам удавалось обосновать в ряде случаев, но первое звено — от частиц к уравнению Больцмана — оставалось недоказуемым. Единственное серьёзное продвижение было сделано в 1975 году Оскаром Лэнфордом, который смог показать, что в течение крошечного интервала времени, значительно короче мигания глаза, вероятность повторных столкновений частиц мала, и уравнение Больцмана работает. Но как только временной интервал становился хоть немного длиннее, контроль над поведением частиц терялся, и доказательство рассыпалось.
С тех пор десятки исследователей пытались продолжить этот результат, но безуспешно. В 2023 году Юй Дэн из Чикагского университета и Захер Хани из Мичигана неожиданно заявили, что им удалось продвинуться в этой области. Оба до этого занимались в основном волновыми системами, а не классической кинетикой, что ещё больше удивило коллег. Они объявили, что собираются применить наработки из своей предыдущей волновой работы для анализа поведения частиц — и в следующей статье обещали показать, как можно обойти ограничения, наложенные в теореме Лэнфорда. В процессе обсуждений к ним присоединился аспирант Принстонского университета Сяо Ма, который предложил ценные идеи по адаптации методов к случаю взаимодействующих частиц. Совместными усилиями они решили начать с упрощённой модели — газа в бесконечном пространстве, где молекулы не ограничены стенками и со временем рассеиваются, уменьшая вероятность повторных столкновений.
Основная трудность заключалась в том, что столкновения частиц порождают огромное количество возможных сценариев: кто с кем сталкивается, в каком порядке, с какими последствиями. Математики должны были проанализировать все допустимые схемы взаимодействия — а таких даже после предварительной фильтрации оставалось бесчисленное множество. Чтобы упорядочить этот хаос, исследователи применили идею разбиения сложной структуры на упрощённые фрагменты. Эта техника уже помогала им в предыдущих задачах: при работе с волнами они научились разбивать сложные конфигурации на совокупности элементарных и анализировать вероятность каждого паттерна отдельно, а затем собирать общую картину. Но для частиц метод пришлось перестраивать с нуля. В отличие от волн, частицы отскакивают друг от друга, и каждое столкновение может радикально изменить всю будущую динамику.
Исследователи начали с элементарных случаев — коротких промежутков времени, когда частицы взаимодействуют лишь однократно, без повторений. Постепенно они расширяли анализ, включая более длительные интервалы и сложные схемы с множественными столкновениями. Практически каждый день они встречались в Zoom — нередко ночью, после того как дети были уложены спать. По словам Хани, процесс шёл мучительно медленно: они часто застревали, отступали, пересматривали тактики. Интуиция вырабатывалась по ходу дела — начиная с проб, ошибок и многочисленных тупиков.
Весной 2024 года работа была завершена. Авторы доказали, что в бесконечном пространстве вероятность множественных рецидивов взаимодействий столь мала, что можно строго вывести уравнение Больцмана из ньютоновской динамики. Получился первый в истории пример полного логического перехода от микроскопического уровня к статистическому описанию газа.
На этом они не остановились. Следующий шаг — перенести результат на более реалистичную модель газа, помещённого в коробку. В этом случае поведение частиц осложняется: они сталкиваются с границами, могут бесконечно возвращаться и взаимодействовать вновь. Тем не менее, около 80% аргументов из бесконечномодельной работы удалось сохранить. В марте они опубликовали расширенный текст , в котором впервые доказали полную логическую цепочку: от законов движения отдельных молекул до уравнений Навье–Стокса, описывающих поведение газа как непрерывной среды.
Но их результат имеет и более философское значение. В микромире законы симметричны по времени: можно проследить, откуда частица пришла, и куда направляется. В мире уравнений Больцмана и особенно в уравнениях макрофизики — такой симметрии нет. Прошлое и будущее неравнозначны: тепло не перетекает самопроизвольно от холодного тела к тёплому, капля чернил в воде не собирается обратно, возраст не идёт вспять. Больцман уже тогда объяснял, что эта асимметрия — следствие вероятностей: почти все возможные состояния газа ведут к его рассеиванию. Теоретически обратный процесс возможен, но практически его вероятность исчезающе мала.
До сих пор это утверждение оставалось философским. Лэнфорд сумел обосновать его только на кратчайших временных масштабах. Работа Дэна, Хани и Ма впервые даёт строгую математическую основу тому, что до этого воспринималось как очевидное, но недоказуемое. Математическое подтверждение необратимости — не из принципа, а из точного учёта всех возможных конфигураций.
Теперь внимание исследователей обращено к более сложным системам — газам с молекулами сложной формы, а также к взаимодействиям, выходящим за пределы простого «жёсткого шара». Открытая дорога ведёт к новым формализациям и, возможно, к аксиомам более широких разделов физики. И если когда-то мечта Гильберта казалась утопией, то теперь она приобретает реальные черты — шаг за шагом, через аккуратные, выстраданные доказательства .
В 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 задачи , которые, как он надеялся, определят траекторию развития математики на столетие вперёд. Среди них шестая — одна из самых амбициозных — призывала превратить физику в строгую логическую систему, подобно тому, как Евклид описал геометрию через аксиомы. Гильберт мечтал, чтобы законы природы были не просто описанием наблюдаемого, а следствием математически непротиворечивой модели. Однако уже тогда масштабы этой задачи казались гигантскими. Он не ограничивался одной областью — цель заключалась в том, чтобы придать аксиоматический облик всему, что связано с количественными науками. В частности, он предложил начать с теории газа: доказать, что модели, описывающие движение отдельных молекул, действительно ведут к тем же результатам, что и уравнения, описывающие поведение вещества как единого целого.
Физики давно используют три уровня описания газа: на нижнем уровне — частицы, движущиеся по законам Ньютона ; на промежуточном — статистическая картина Больцмана, описывающая распределение частиц по скоростям и позициям; на самом общем — макроскопическая картина, где газ становится сплошной средой, подчиняющейся уравнениям Навье–Стокса. Эти модели кажутся совместимыми, но до недавнего времени строгих доказательств такой совместимости не существовало. Переход от среднего уровня к макроуровню математикам удавалось обосновать в ряде случаев, но первое звено — от частиц к уравнению Больцмана — оставалось недоказуемым. Единственное серьёзное продвижение было сделано в 1975 году Оскаром Лэнфордом, который смог показать, что в течение крошечного интервала времени, значительно короче мигания глаза, вероятность повторных столкновений частиц мала, и уравнение Больцмана работает. Но как только временной интервал становился хоть немного длиннее, контроль над поведением частиц терялся, и доказательство рассыпалось.
С тех пор десятки исследователей пытались продолжить этот результат, но безуспешно. В 2023 году Юй Дэн из Чикагского университета и Захер Хани из Мичигана неожиданно заявили, что им удалось продвинуться в этой области. Оба до этого занимались в основном волновыми системами, а не классической кинетикой, что ещё больше удивило коллег. Они объявили, что собираются применить наработки из своей предыдущей волновой работы для анализа поведения частиц — и в следующей статье обещали показать, как можно обойти ограничения, наложенные в теореме Лэнфорда. В процессе обсуждений к ним присоединился аспирант Принстонского университета Сяо Ма, который предложил ценные идеи по адаптации методов к случаю взаимодействующих частиц. Совместными усилиями они решили начать с упрощённой модели — газа в бесконечном пространстве, где молекулы не ограничены стенками и со временем рассеиваются, уменьшая вероятность повторных столкновений.
Основная трудность заключалась в том, что столкновения частиц порождают огромное количество возможных сценариев: кто с кем сталкивается, в каком порядке, с какими последствиями. Математики должны были проанализировать все допустимые схемы взаимодействия — а таких даже после предварительной фильтрации оставалось бесчисленное множество. Чтобы упорядочить этот хаос, исследователи применили идею разбиения сложной структуры на упрощённые фрагменты. Эта техника уже помогала им в предыдущих задачах: при работе с волнами они научились разбивать сложные конфигурации на совокупности элементарных и анализировать вероятность каждого паттерна отдельно, а затем собирать общую картину. Но для частиц метод пришлось перестраивать с нуля. В отличие от волн, частицы отскакивают друг от друга, и каждое столкновение может радикально изменить всю будущую динамику.
Исследователи начали с элементарных случаев — коротких промежутков времени, когда частицы взаимодействуют лишь однократно, без повторений. Постепенно они расширяли анализ, включая более длительные интервалы и сложные схемы с множественными столкновениями. Практически каждый день они встречались в Zoom — нередко ночью, после того как дети были уложены спать. По словам Хани, процесс шёл мучительно медленно: они часто застревали, отступали, пересматривали тактики. Интуиция вырабатывалась по ходу дела — начиная с проб, ошибок и многочисленных тупиков.
Весной 2024 года работа была завершена. Авторы доказали, что в бесконечном пространстве вероятность множественных рецидивов взаимодействий столь мала, что можно строго вывести уравнение Больцмана из ньютоновской динамики. Получился первый в истории пример полного логического перехода от микроскопического уровня к статистическому описанию газа.
На этом они не остановились. Следующий шаг — перенести результат на более реалистичную модель газа, помещённого в коробку. В этом случае поведение частиц осложняется: они сталкиваются с границами, могут бесконечно возвращаться и взаимодействовать вновь. Тем не менее, около 80% аргументов из бесконечномодельной работы удалось сохранить. В марте они опубликовали расширенный текст , в котором впервые доказали полную логическую цепочку: от законов движения отдельных молекул до уравнений Навье–Стокса, описывающих поведение газа как непрерывной среды.
Но их результат имеет и более философское значение. В микромире законы симметричны по времени: можно проследить, откуда частица пришла, и куда направляется. В мире уравнений Больцмана и особенно в уравнениях макрофизики — такой симметрии нет. Прошлое и будущее неравнозначны: тепло не перетекает самопроизвольно от холодного тела к тёплому, капля чернил в воде не собирается обратно, возраст не идёт вспять. Больцман уже тогда объяснял, что эта асимметрия — следствие вероятностей: почти все возможные состояния газа ведут к его рассеиванию. Теоретически обратный процесс возможен, но практически его вероятность исчезающе мала.
До сих пор это утверждение оставалось философским. Лэнфорд сумел обосновать его только на кратчайших временных масштабах. Работа Дэна, Хани и Ма впервые даёт строгую математическую основу тому, что до этого воспринималось как очевидное, но недоказуемое. Математическое подтверждение необратимости — не из принципа, а из точного учёта всех возможных конфигураций.
Теперь внимание исследователей обращено к более сложным системам — газам с молекулами сложной формы, а также к взаимодействиям, выходящим за пределы простого «жёсткого шара». Открытая дорога ведёт к новым формализациям и, возможно, к аксиомам более широких разделов физики. И если когда-то мечта Гильберта казалась утопией, то теперь она приобретает реальные черты — шаг за шагом, через аккуратные, выстраданные доказательства .